Logika Pembuktian - Matematika Informatika 3

TUGAS MATEMATIKA INFORMATIKA 3

SOAL DAN PEMBAHASAN

LOGIKA PEMBUKTIAN

 

KELOMPOK 3:

AINUR RIDWAN                   50416423

ANWAR SADAT                     50416977

FIGA RIZFA ZAZILA              52416819

KHAIRA YUHARIFALLAH   53416884

MUCHAMMAD RIVARI        54416535

M. ALIF MUSDIAR                54416701

M. FIKRY M                           54416858

RISKY SAPUTRA                   56416495

WISNUNDARI DYAH A. L.   57416700

KELAS:

2IA14

1.       Manakah yang termasuk ke dalam teori asosiatif…?

a. A . ( B + C ) = A . B + A . C

b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

c. A . B = B . A

d. A + ( B . C ) = ( A + B ) . ( A + C )

e. A . A = A

Jawaban:    b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )

Penjelasan:

Hukum asosiatif artinya kita bisa saja mengelompokkan operasi bilangan dengan urutan berbeda.

2.      Penyelesaian dari 3x + 4y = 7 dan 6x + 8y = 21 dengan metode eliminasi adalah…

a. 7 = 2

b. 1 = 7

c. 0 = 7

d. 7 = 1

e. 2 = 7

Jawaban:         c. 0 = 7

Penjelasan:

                        Persamaan 1 kalikan 2

                                    6x + 8y = 21

                                    6x + 8y = 14

                                              0 = 7;

3.      Terdapat implikasi : Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis dibagi 3. Kesimpulannya adalah...

a. 15 habis dibagi 3

b. 15 adalah bilangan ganjil 

c. 3 adalah bilangan ganjil

d. 3 habis dibagi 3

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : b. 15 adalah bilangan ganjil

Penjelasan:

Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil         (p → q)

15 habis dibagi 3                                                                    (p        )

∴   15 adalah bilangan ganjil                                                 (         q)

4.      Pernyataan berikut yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…

a. Membuat pemisalan jika p maka q adalah benar

b. Jika ~q benar maka ~p juga harus benar

c. Jika p benar maka q benar

d. Suatu pembuktian untuk pernyataan yang memuat bilangan asli

e. Tidak ada jawaban yang benar

Jawaban :  a. Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar

Penjelasannya:

Kontradiksi ialah dua hal dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama. Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.

5.      Misalkan p(n) benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1  untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1). Apakah p(n +1) bernilai benar…?

a. Benar

b. Salah

c. a dan b benar

d. a dan b salah

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban:    a. Benar

Penjelasan:

                        Buktikan bahwa p(n +1) benar, maka:

                        n = n + 1

                        2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1)

                        2 + 4 + 6 + ... + 2n + 2 (n +1) = n + 1 (n + 1 + 1)

                                                  2n + 2n + 2   = (n + 1) (n + 2)

                                                  2n + 2n + 2   = n (n + 1) + 2n + 2

                                                                        = n² + n + 2n + 2

                                                                        = n² + 3n + 2

                                                                        = (n + 1) (n + 2)     Terbukti Benar.

6.      Apakah N³ + 2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1? dan apakah berlaku kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?

a. ya dan ya

b. ya dan tidak

c. tidak dan bisa jadi

d. tidak dan tidak

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : a. Ya dan ya

Penjelasan:

q Basis untuk n = 1 akan diperoleh :

      13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3 (ya, berlaku n = 1)

q induksi (misalkan) untuk n = k asumsikan menjadi k³ + 2k = 3x

q adib untuk n = k + 1 berlaku :

               (k + 1)³ + 2(k + 1) adalah kelipatan 3

               (k³ + 3k² + 3k+1) + 2k + 2

               (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)

               (k³ + 2k) + 3 (k² + k + 1)

               induksi 

               3x + 3 (k² + k + 1)

               3 (x + k² + k + 1)

Kesimpulan : N³ + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku kelipatan 3).

7.      Jika  2 + 4 + 6 + .... + 2n=n(n+1), apakah terbukti benar jika n = 1…

a. benar

b. salah

c. a dan b benar

d. a dan b salah

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban: a. benar

Penjelasan:

                        n = 1, maka 2 = 1(1 +1)

                                                = 1 . 2

                                                = 2  maka terbukti benar untuk n = 1

8.      Dibawah ini pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...

a. 3 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

b. 4 adalah bilangan genap sebab terdapat 1

c. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

d. a, b, dan c benar

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : c. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2

Penjelasan:

Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga

n = 2k + 1.

5 = 2(2) + 1

5 = 4 + 1

      5        = 5

9.      Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka terbuktik bahwa mn adalah ...

a. bukan kuadrat sempurna

b. kuadrat sempurna

c. konstanta

d. a dan c benar

e. tidak ada jawaban yang benar

Jawaban : b. kuadrat sempurna

Penjelasan:

Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m = k², n = p² untuk suatu k, p bilangan bulat.

mn = (k²)(p²)

      = (kp)²

Karena k, p

10.  Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikanlah apakah n² adalah ganjil…?

a. Semua jawaban salah

b. Semua jawaban benar

c. Ganjil

d. Genap

e. Ganjil dan Genap

Jawaban:  c. Ganjil

Penjelasan:

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n² adalah ganjil.

n² = (2k + 1)²

     = 4k² + 4k + 1

     = 2(2k² + 2k) + 1

Perhatikan bahwa n² = 2(2k² + 2k) + 1.

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k² + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n²adalah ganjil.