TUGAS MATEMATIKA
INFORMATIKA 3
SOAL DAN
PEMBAHASAN
LOGIKA PEMBUKTIAN
KELOMPOK 3:
AINUR RIDWAN 50416423
ANWAR SADAT 50416977
FIGA RIZFA ZAZILA 52416819
KHAIRA YUHARIFALLAH 53416884
MUCHAMMAD RIVARI 54416535
M. ALIF MUSDIAR
54416701
M. FIKRY M 54416858
RISKY SAPUTRA 56416495
WISNUNDARI DYAH A. L. 57416700
KELAS:
2IA14
1.
Manakah yang termasuk ke dalam teori
asosiatif…?
a. A . ( B + C ) = A . B
+ A . C
b. ( A . B ) . C = A . ( B . C )
c. A . B = B . A
d. A + ( B . C ) = ( A +
B ) . ( A + C )
e. A . A = A
Jawaban: b. (
A . B ) . C = A . ( B . C )
Penjelasan:
Hukum asosiatif artinya
kita bisa saja mengelompokkan operasi bilangan dengan urutan berbeda.
2.
Penyelesaian dari
3x + 4y = 7 dan 6x + 8y = 21 dengan metode eliminasi adalah…
a. 7 = 2
b. 1 = 7
c. 0 = 7
d. 7 = 1
e. 2 = 7
Jawaban:
c. 0 = 7
Penjelasan:
Persamaan 1 kalikan 2
6x + 8y =
21
6x + 8y =
14
0
= 7;
3.
Terdapat implikasi
: Jika 15 habis dibagi 3, maka 15 adalah bilangan ganjil. kemudian 15 habis
dibagi 3. Kesimpulannya adalah...
a. 15 habis dibagi 3
b. 15 adalah bilangan ganjil
c. 3 adalah bilangan
ganjil
d. 3 habis dibagi 3
e. tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban : b. 15
adalah bilangan ganjil
Penjelasan:
Jika 15 habis dibagi 3,
maka 15 adalah bilangan ganjil (p → q)
15 habis dibagi 3
(p
)
∴ 15 adalah bilangan ganjil
( q)
4.
Pernyataan berikut
yang sesuai dengan metode pembuktian kontradiksi adalah…
a. Membuat pemisalan jika p maka q adalah benar
b. Jika ~q benar maka ~p
juga harus benar
c. Jika p benar maka q
benar
d. Suatu pembuktian untuk
pernyataan yang memuat bilangan asli
e. Tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban : a.
Membuat Permisalan jika p maka q adalah benar
Penjelasannya:
Kontradiksi ialah dua hal
dimana kedua hal tersebut tidak boleh sama sama benar dalam waktu yang sama.
Jadi, kita buat pemisalan jika p salah , q benar. Jika kita buat ke dalam
operasi logika p maka q (p → q) maka hasil yang didapat adalah benar.
5.
Misalkan p(n)
benar untuk semua bilangan positif n ≥ 1
untuk bilangan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1). Apakah p(n +1) bernilai
benar…?
a. Benar
b. Salah
c. a dan b benar
d. a dan b salah
e. tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban: a.
Benar
Penjelasan:
Buktikan bahwa p(n +1)
benar, maka:
n = n + 1
2 + 4 + 6 + ... + 2n =
n (n + 1)
2 + 4 + 6 + ... + 2n +
2 (n +1) = n + 1 (n + 1 + 1)
2n + 2n + 2 = (n + 1) (n + 2)
2n + 2n + 2 = n (n + 1) + 2n + 2
= n2 + n
+ 2n + 2
= n2 +
3n + 2
= (n + 1) (n + 2) Terbukti
Benar.
6.
Apakah N3 +
2n adalah kelipatan 3 berlaku untuk n = 1? dan apakah berlaku kelipatan 3 untuk
setiap bilangan bulat postitif n (menggunakan induksi matematika)…?
a. ya dan ya
b. ya dan tidak
c. tidak dan bisa jadi
d. tidak dan tidak
e. tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban : a.
Ya dan ya
Penjelasan:
q Basis untuk n = 1 akan
diperoleh :
13 + 2(1) = 3 yang merupakan kelipatan 3
(ya, berlaku n = 1)
q induksi (misalkan)
untuk n = k asumsikan menjadi k3 + 2k = 3x
q adib untuk n = k +
1 berlaku :
(k + 1)3 + 2(k + 1) adalah
kelipatan 3
(k3 + 3k2 +
3k+1) + 2k + 2
(k3 + 2k) + (3k2 +
3k + 3)
(k3 + 2k) + 3 (k2 +
k + 1)
induksi
3x + 3 (k2 + k + 1)
3 (x + k2 + k + 1)
Kesimpulan : N3 +
2n adalah kelipatan 3 untuk setiap bilangan bulat positif n (ya, berlaku
kelipatan 3).
7.
Jika 2 + 4 + 6 + .... + 2n=n(n+1), apakah terbukti
benar jika n = 1…
a. benar
b. salah
c. a dan b benar
d. a dan b salah
e. tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban: a. benar
Penjelasan:
n = 1, maka 2 = 1(1 +1)
= 1 . 2
= 2 maka terbukti benar untuk n = 1
8.
Dibawah ini
pernyataan yang benar tentang metode pembuktian langsung adalah ...
a. 3 adalah bilangan
ganjil sebab terdapat 2
b. 4 adalah bilangan
genap sebab terdapat 1
c. 5 adalah bilangan ganjil sebab terdapat 2
d. a, b, dan c benar
e. tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban : c. 5 adalah
bilangan ganjil sebab terdapat 2
Penjelasan:
Suatu bilangan bulat n
disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga
n = 2k + 1.
5 = 2(2) + 1
5 = 4 + 1
5
= 5
9.
Jika
diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka
terbuktik bahwa mn adalah ...
a. bukan kuadrat sempurna
b. kuadrat sempurna
c. konstanta
d. a dan c benar
e. tidak ada jawaban yang
benar
Jawaban : b.
kuadrat sempurna
Penjelasan:
Misalkan m, n adalah
kuadrat sempurna, artinya
m = k2, n = p2 untuk
suatu k, p bilangan bulat.
mn = (k2)(p2)
=
(kp)2
Karena k, p
10. Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikanlah
apakah n2 adalah ganjil…?
a. Semua jawaban salah
b. Semua jawaban benar
c. Ganjil
d. Genap
e. Ganjil dan Genap
Jawaban: c.
Ganjil
Penjelasan:
Diketahui n adalah
ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1. Akan
ditunjukkan bahwa n2 adalah ganjil.
n2 = (2k
+ 1)2
=
4k2 + 4k + 1
=
2(2k2 + 2k) + 1
Perhatikan bahwa n2 =
2(2k2 + 2k) + 1.
Karena k adalah bilangan
bulat, maka (2k2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n2adalah
ganjil.
